প্রশ্ন:

সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু ৯ এবং ১২ হলে অতিভুজ কত?

সমাধান:

পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুসারে:

\[ \text{hypotenuse}^2 = \text{base}^2 + \text{height}^2 \]

এখানে base = 9, height = 12। তাই:

\[ \text{hypotenuse}^2 = 9^2 + 12^2 \]

\[ \text{hypotenuse}^2 = 81 + 144 \]

\[ \text{hypotenuse}^2 = 225 \]

\[ \text{hypotenuse} = \sqrt{225} = 15 \]

উত্তর:

15

প্রশ্ন:

সমীকরণ \(x^2 - 4x - 5 = 0\) এর \(x\) এর মান কত?

সমাধান:

দ্বিঘাত সমীকরণ সাধারণ সূত্র:

$$
ax^2 + bx + c = 0 \implies x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

আমাদের সমীকরণ: \(x^2 - 4x - 5 = 0 \implies a = 1, b = -4, c = -5\)

$$
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2}
$$

অতএব, দুটি মান পাওয়া যায়:

$$
x = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x = \frac{4 - 6}{2} = -1
$$

উত্তর:

x = 5 অথবা x = -1

প্রশ্ন:

সংখ্যাগুলো: 18, 24, 30। তাদের LCM কত?

সমাধান:

সংখ্যাগুলোকে মৌলিক গুণফলে ভাঙি:

$$
18 = 2 \cdot 3^2, \quad 24 = 2^3 \cdot 3, \quad 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5
$$

LCM-এর নিয়ম অনুযায়ী প্রতিটি মৌলিক গুণকের সর্বাধিক ঘাত নাও:

$$
2^3, \quad 3^2, \quad 5^1
$$

সুতরাং:

$$
\text{LCM} = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360
$$

উত্তর:

360

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যা ৭ দ্বারা ভাগ করলে ৪ অবশিষ্ট থাকে। নিচের কোনটি হতে পারে?

সমাধান:

শর্ত:

$$
N \equiv 4 \pmod{7} \implies N = 7k + 4
$$

বিকল্প যাচাই:

• 11 ÷ 7 → অবশিষ্ট 4 ✅
• 18 ÷ 7 → অবশিষ্ট 4 ✅
• 25 ÷ 7 → অবশিষ্ট 4 ✅
• 32 ÷ 7 → অবশিষ্ট 4 ✅

উত্তর:

11, 18, 25, 32

প্রশ্ন:

ক্রম: \(a_n = 2n + 1\)। \(a_{50}\) এর মান কত?

সমাধান:

ধরি, সাধারণ পদ:

$$
a_n = 2n + 1
$$

n = 50 বসাই:

$$
a_{50} = 2 \times 50 + 1 = 101
$$

উত্তর:

101

প্রশ্ন:

দিকনির্দেশ: X ব্যক্তি উত্তরদিকে 5 কিমি; তারপর দক্ষিণ-পশ্চিমে 3 কিমি; তারপর পূর্বদিকে 4 কিমি চলে। চূড়ান্ত অবস্থান থেকে শুরুতে ফিরে আসার সরাসরি দুরত্ব কত?

সমাধান:

দক্ষিণ–পশ্চিম মানে দক্ষিণ ও পশ্চিমে সমান দূরত্বে গমন।
অতএব 3 কিমি দক্ষিণ-পশ্চিম চললে:

\[
\text{South component} = \frac{3}{\sqrt{2}}, \quad
\text{West component} = \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

এখন ধাপে ধাপে স্থানাঙ্ক পরিবর্তন ধরি।

### Step 1: উত্তর 5 কিমি
\[
(0, 0) \rightarrow (0, 5)
\]

### Step 2: দক্ষিণ-পশ্চিম 3 কিমি
\[
\text{South} = \frac{3}{\sqrt{2}},\quad \text{West} = \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

সুতরাং নতুন স্থানাঙ্ক:
\[
\left( -\frac{3}{\sqrt{2}},\; 5 - \frac{3}{\sqrt{2}} \right)
\]

### Step 3: পূর্বে 4 কিমি
\[
x = -\frac{3}{\sqrt{2}} + 4,\quad
y = 5 - \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

### এখন উৎসবিন্দু থেকে দূরত্ব:
\[
d = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

যেখানে,
\[
x = 4 - \frac{3}{\sqrt{2}}, \quad
y = 5 - \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

গণনা করলে,
\[
d \approx \sqrt{(1.88)^2 + (2.88)^2}
\]

\[
d \approx \sqrt{3.53 + 8.29} = \sqrt{11.82} \approx 3.44
\]

উত্তর:

প্রায় 3.44 কিমি

প্রশ্ন:

দিকনির্দেশ: X ব্যক্তি উত্তরদিকে 5 কিমি; তারপর দক্ষিণ-পশ্চিমে 3 কিমি; তারপর পূর্বদিকে 4 কিমি চলে। চূড়ান্ত অবস্থান থেকে শুরুতে ফিরে আসার সরাসরি দুরত্ব কত?

সমাধান:

দক্ষিণ–পশ্চিম মানে দক্ষিণ ও পশ্চিমে সমান দূরত্বে গমন।
অতএব 3 কিমি দক্ষিণ-পশ্চিম চললে:

\[
\text{South component} = \frac{3}{\sqrt{2}}, \quad
\text{West component} = \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

এখন ধাপে ধাপে স্থানাঙ্ক পরিবর্তন ধরি।

### Step 1: উত্তর 5 কিমি
\[
(0, 0) \rightarrow (0, 5)
\]

### Step 2: দক্ষিণ-পশ্চিম 3 কিমি
\[
\text{South} = \frac{3}{\sqrt{2}},\quad \text{West} = \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

সুতরাং নতুন স্থানাঙ্ক:
\[
\left( -\frac{3}{\sqrt{2}},\; 5 - \frac{3}{\sqrt{2}} \right)
\]

### Step 3: পূর্বে 4 কিমি
\[
x = -\frac{3}{\sqrt{2}} + 4,\quad
y = 5 - \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

### এখন উৎসবিন্দু থেকে দূরত্ব:
\[
d = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

যেখানে,
\[
x = 4 - \frac{3}{\sqrt{2}}, \quad
y = 5 - \frac{3}{\sqrt{2}}
\]

গণনা করলে,
\[
d \approx \sqrt{(1.88)^2 + (2.88)^2}
\]

\[
d \approx \sqrt{3.53 + 8.29} = \sqrt{11.82} \approx 3.44
\]

উত্তর:

প্রায় 3.44 কিমি

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যার 25%, তারপর তার 40%, তারপর তার 30% নেওয়া হলে ফলাফল 36 পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি = \(x\)

ধাপে ধাপে ভাগ করা:

• 25%: \(0.25x\)
• তার 40%: \(0.4 \times 0.25x = 0.1x\)
• তার 30%: \(0.3 \times 0.1x = 0.03x\)

ফলাফল 36 দেওয়া আছে:

$$
0.03x = 36
$$

অতএব,

$$
x = \frac{36}{0.03} = 1200
$$

উত্তর:

1200

প্রশ্ন:

একটি মিরর ইমেজ প্রশ্নে ঘড়িতে সময় \(3{:}15\) দেখালে মিরর ইমেজে কয়টা বাজবে?

সমাধান:

মিরর ইমেজে সময় বের করার নিয়ম:
\[
\text{Mirror Time} = 11{:}60 - \text{Given Time}
\]

এখন দেওয়া আছে:
\[
3{:}15
\]

সুতরাং,
\[
11{:}60 - 3{:}15 = 8{:}45
\]

উত্তর:

8:45

প্রশ্ন:

বর্ণানুক্রমে A থেকে Z পর্যন্ত 26 অক্ষর; 5ম অক্ষর থেকে বাম এবং 3য় অক্ষর থেকে ডান একই অক্ষর কি?

সমাধান:

A থেকে Z পর্যন্ত অক্ষরগুলো:
\[
A(1), B(2), C(3), D(4), E(5), F(6), \dots, Z(26)
\]

**ধাপে ধাপে বিশ্লেষণ:**

1. **5ম অক্ষর থেকে বাম দিকে:**
5ম অক্ষর = E
E থেকে বাম দিকে 1, 2, 3, 4, 5 অক্ষর = A
→ বাম দিকের অক্ষর = A

2. **3য় অক্ষর থেকে ডান দিকে:**
3য় অক্ষর = C
ডান দিকে 1, 2, 3 অক্ষর = F
→ ডান দিকের অক্ষর = F

**উভয় দিকের অক্ষর একই কি না:**
না, বাম = A, ডান = F → একই নয়।

উত্তর:

না, একই নয়

প্রশ্ন:

দৈর্ঘ্য \(l = 15\ \text{সেমি}\) এবং কর্ণ \(d = 17\ \text{সেমি}\) হলে একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

আয়তক্ষেত্রের সূত্র:

$$
d^2 = l^2 + b^2
$$

প্রস্থ বের করি:

$$
17^2 = 15^2 + b^2 \implies 289 = 225 + b^2 \implies b^2 = 64 \implies b = 8
$$

ক্ষেত্রফল:

$$
\text{ক্ষেত্রফল} = l \cdot b = 15 \cdot 8 = 120\ \text{বর্গসেমি}
$$

উত্তর:

120 বর্গসেমি

প্রশ্ন:

কোনো ঘটনার সম্ভাবনা \(\frac{2}{5}\) হলে অনুকূলে সম্ভাব্য অনুপাত কত?

সমাধান:

যদি কোনো ঘটনার সম্ভাবনা \(P(E) = \frac{2}{5}\),
তাহলে অনুকূলে সম্ভাবনা \(P(E') = 1 - P(E)\)।

\[
P(E') = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}
\]

অনুকূলে সম্ভাব্য অনুপাত (ফেভারেবল : অনফেভারেবল) হবে:

\[
\text{অনুকূল : অনুকূলে} = 3 : 2
\]

উত্তর:

3 : 2

প্রশ্ন:

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ \(50^\circ\) এবং \(60^\circ\)। তৃতীয় কোণ কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সবসময় \(180^\circ\)।
ধরি তৃতীয় কোণ \(x^\circ\)। তাহলে:

\[
50 + 60 + x = 180
\]

\[
110 + x = 180
\]

\[
x = 180 - 110
\]

\[
x = 70^\circ
\]

উত্তর:

70^\circ

প্রশ্ন:

৫টি সংখ্যার গড় = ২৪। একটি সংখ্যা বাদ দিলে নতুন গড় = ২২। বাদ দেওয়া সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

মোট যোগফল:

$$
5 \times 24 = 120
$$

নতুন যোগফল (একটি সংখ্যা বাদ দিলে):

$$
4 \times 22 = 88
$$

অতএব, বাদ দেওয়া সংখ্যা:

$$
120 - 88 = 32
$$

উত্তর:

32

প্রশ্ন:

দুটি সমীকরণ \(2x + 3y = 13\) এবং \(x - y = 1\)। সমাধান করলে \(x\) এর মান কত?

সমাধান:

\(x - y = 1\) থেকে,

$$
x = y + 1
$$

এটি প্রথম সমীকরণে বসাই:

$$
2(y + 1) + 3y = 13 \implies 2y + 2 + 3y = 13 \implies 5y + 2 = 13
$$

অতএব,

$$
y = \frac{11}{5}
$$

অতএব,

$$
x = y + 1 = \frac{11}{5} + 1 = \frac{16}{5}
$$

উত্তর:

x = 16/5

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যার 30% বাদ দিলে 140 হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি \(x\)।
30% বাদ দিলে মান হবে 70%:

\[
0.7 x = 140
\]

\[
x = \frac{140}{0.7}
\]

\[
x = 200
\]

উত্তর:

200

প্রশ্ন:

একটি পাইপ ১২ ঘণ্টায় একটি ট্যাঙ্ক ভর্তি করে এবং আরেকটি পাইপ ১৮ ঘণ্টায় খালি করে। একসাথে চালালে ট্যাঙ্ক ভর্তি হতে কত ঘণ্টা লাগবে?

সমাধান:

ধরি, পুরো ট্যাঙ্কের কাজ = 1 unit

ভর্তি পাইপের রেট:
$$\text{Rate}_{\text{fill}} = \frac{1}{12}$$ প্রতি ঘন্টা

খালি পাইপের রেট:
$$\text{Rate}_{\text{empty}} = \frac{1}{18}$$ প্রতি ঘন্টা

একসাথে কাজের রেট:
$$\text{Rate}_{\text{together}} = \frac{1}{12} - \frac{1}{18} = \frac{1}{36}$$ প্রতি ঘন্টা

ট্যাঙ্ক ভর্তি হতে সময়:
$$\text{Time} = \frac{1}{1/36} = 36$$ ঘণ্টা

উত্তর:

36 ঘণ্টা

প্রশ্ন:

একটি ট্রেন 72 কিমি/ঘণ্টা বেগে চললে 250 মিটার দীর্ঘ ব্রিজ পার হতে 20 সেকেন্ড লাগে। ট্রেনের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধাপ ১: স্পিড ইউনিটে পরিবর্তন

$$
72 \text{ km/h} = 72 \times \frac{1000}{3600} = 20 \text{ m/s}
$$

ধাপ ২: মোট দূরত্ব বের করা (ট্রেন + ব্রিজ)

$$
\text{Distance} = \text{Speed} \times \text{Time} = 20 \times 20 = 400 \text{ m}
$$

ধাপ ৩: ট্রেনের দৈর্ঘ্য বের করা

$$
L = \text{Distance} - \text{Bridge length} = 400 - 250 = 150 \text{ m}
$$

উত্তর:

150 মিটার

প্রশ্ন:

সাংখ্যিক মান বের করো: \(\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ\)

সমাধান:

সকল কোণের জন্য পরিচিত সূত্র:

$$
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
$$

তাহলে,

$$
\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = 1
$$

উত্তর:

1

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যার সাথে তার 20% এবং 30% যোগ করলে ফল হয় 234। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি = \(x\)

শর্ত অনুযায়ী:

$$
x + 0.2x + 0.3x = 234
$$

সমীকরণ সরল করি:

$$
1.5x = 234
$$

অতএব,

$$
x = \frac{234}{1.5} = 156
$$

উত্তর:

156

প্রশ্ন:

সামঞ্জস্য সমাধান করো: \(7 \times x \equiv 1 \pmod{26}\)

সমাধান:

প্রথমে আমরা \(7^{-1} \mod 26\) নির্ণয় করবো। অর্থাৎ এমন \(x\) খুঁজব যাতে
\[
7x \equiv 1 \pmod{26}
\]

Extended Euclidean Algorithm ব্যবহার করি:

\[
26 = 7 \times 3 + 5
\]
\[
7 = 5 \times 1 + 2
\]
\[
5 = 2 \times 2 + 1
\]

ব্যাক–সাবস্টিটিউশন:

\[
1 = 5 - 2 \times 2
\]
\[
2 = 7 - 5 \times 1
\]

Substitute করে পাই:

\[
1 = 5 - 2(7 - 5)
\]
\[
1 = 3 \times 5 - 2 \times 7
\]

এখন \(5 = 26 - 7 \times 3\):

\[
1 = 3(26 - 7 \times 3) - 2 \times 7
\]
\[
1 = 3 \times 26 - 11 \times 7
\]

এখন পাই:

\[
-11 \equiv x \pmod{26}
\]

পজিটিভ করতে:

\[
x \equiv 15 \pmod{26}
\]

উত্তর:

15

প্রশ্ন:

দুটি সংখ্যার LCM = 420 এবং HCF = 14। একটি সংখ্যা 84 হলে, অন্য সংখ্যা কত?

সমাধান:

পরিচিত সূত্র ব্যবহার করি:

$$
\text{LCM} \times \text{HCF} = \text{সংখ্যা}_1 \cdot \text{সংখ্যা}_2
$$

ধরি সংখ্যা দুটি \(a\) এবং \(b\), \(a = 84\):

$$
420 \times 14 = 84 \cdot b
$$

অতএব,

$$
b = \frac{5880}{84} = 70
$$

উত্তর:

70

প্রশ্ন:

প্রথম \(n\) টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল ১২১ হলে \(n\) কত?

সমাধান:

প্রথম \(n\) টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সূত্র:

\[
1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2
\]

দেওয়া আছে:

\[
n^2 = 121
\]

\[
n = \sqrt{121} = 11
\]

উত্তর:

n = 11

প্রশ্ন:

একটি দুই অংকের সংখ্যা তার উল্টো সংখ্যার চেয়ে 297 বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যা = \(10a + b\) যেখানে \(a\) = দশকের সংখ্যা, \(b\) = এককের সংখ্যা।

উল্টো সংখ্যা = \(10b + a\)। শর্ত অনুযায়ী:

$$
10a + b = 10b + a + 297
$$

সরল করলে:

$$
9a - 9b = 297 \implies a - b = 33
$$

যেহেতু \(a\) ও \(b\) দুই অংকের সংখ্যা (0–9), \(a-b = 33\) অসম্ভব।

উত্তর:

এমন কোনো সংখ্যা নেই।

প্রশ্ন:

যদি
\[7 \times ? \equiv 1 \pmod{26}\]
তবে ? এর মান কত?

সমাধান:

আমরা এমন একটি সংখ্যা খুঁজছি যার সাথে 7 গুণ করলে 26 দ্বারা ভাগশেষ 1 হবে। অর্থাৎ 7–এর মড 26 ইনভার্স।

ধাপে ধাপে যাচাই করা যাক:

পরীক্ষা করি:
\[
7 \times 15 = 105
\]

এখন 105 এর 26 দ্বারা ভাগশেষ:
\[
105 \mod 26 = 105 - 78 = 27
\]
\[
27 \mod 26 = 1
\]

অতএব,
\[
7 \times 15 \equiv 1 \pmod{26}
\]

উত্তর:

15

প্রশ্ন:

সমীকরণ \(x^2 - 7x + 10 = 0\) এর মূলদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:

ধরি, সমীকরণের সাধারণ রূপ:

$$
x^2 + bx + c = 0
$$
মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) হলে:
$$
\alpha + \beta = -b, \quad \alpha \cdot \beta = c
$$

আমাদের সমীকরণ:

$$
x^2 - 7x + 10 = 0 \implies b = -7, \quad c = 10
$$

মূলদ্বয়ের গুণফল:

$$
\alpha \cdot \beta = c = 10
$$

উত্তর:

10

প্রশ্ন:

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল \(A = 154\ \text{cm}^2\), \(\pi = \frac{22}{7}\)। ব্যাসার্ধ \(r\) কত?

সমাধান:

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র:

$$
A = \pi r^2
$$

মান বসাই:

$$
154 = \frac{22}{7} \cdot r^2
$$

\(r^2\) বের করি:

$$
r^2 = \frac{154 \cdot 7}{22} = 49 \implies r = \sqrt{49} = 7\ \text{cm}
$$

উত্তর:

7 cm

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যা প্রথমে \(x\%\) কমানো হলো, পরে একই হার \(x\%\) বাড়ানো হলো। নিট পরিবর্তন কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যা = \(N\)

প্রথমে \(x\%\) কমানো:

$$
N_{\text{কম}} = N \left(1 - \frac{x}{100}\right)
$$

পরে \(x\%\) বাড়ানো:

$$
N_{\text{নতুন}} = N_{\text{কম}} \left(1 + \frac{x}{100}\right) = N \left(1 - \frac{x}{100}\right)\left(1 + \frac{x}{100}\right)
$$

সরল করলে:

$$
N_{\text{নতুন}} = N \left(1 - \frac{x^2}{100^2}\right)
$$

নিট পরিবর্তন:

$$
\text{নিট পরিবর্তন} = N_{\text{নতুন}} - N = -\frac{N x^2}{100^2}
$$

উত্তর:

সংখ্যাটি কমেছে; হার = \(\frac{x^2}{100}\%\)

প্রশ্ন:

একটি দ্রব্য 25% ক্ষতিতে বিক্রি করা হয়েছে। বিক্রয়মূল্য 720 টাকা হলে, ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান:

ধরি, ক্ষতির সূত্র:

$$
SP = CP \times \left(1 - \frac{\text{Loss\%}}{100}\right)
$$

এখানে, Loss% = 25%, SP = 720

$$
720 = CP \times \left(1 - \frac{25}{100}\right)
$$
$$
720 = CP \times \frac{75}{100} = CP \times \frac{3}{4}
$$

CP বের করি:

$$
CP = \frac{720 \times 4}{3} = 960
$$

উত্তর:

960 টাকা

প্রশ্ন:

তোমাকে ৭ জনকে সিঁড়িতে এক সারিতে বসাতে বলা হলো। A ও B পাশাপাশি বসবে না এবং C সর্বদা A–এর ডান পাশে বসবে। মোট কতভাবে বসানো সম্ভব?

সমাধান:

মোট ব্যক্তি = ৭ জন
A, B, C ছাড়া বাকি = ৪ জন

ধাপ–১: C সর্বদা A–এর ডান পাশে বসবে

A এবং C কে এমনভাবে বসাতে হবে যাতে C, A–এর ডানে থাকে।
৭টি স্থানে A–কে বসানো যায়, এবং A–এর ডানে যতগুলো স্থান আছে – প্রতিটি স্থানে C–কে বসানো যায়।

A যদি অবস্থান করে ১ নম্বরে → C বসতে পারবে ২,৩,৪,৫,৬,৭ → ৬ উপায়
A যদি ২ নম্বরে → C বসতে পারবে ৩,৪,৫,৬,৭ → ৫ উপায়
…
A যদি ৬ নম্বরে → C বসতে পারবে ৭ → ১ উপায়
A যদি ৭ নম্বরে → C–এর ডান পাশে কোনো স্থান নেই → ০ উপায়

সুতরাং মোট উপায়
\[
6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21
\]

প্রতিবার A–C এর জন্য বাকি ৫ জন
\[
5! = 120 \text{ উপায়ে বসতে পারে}
\]

তাই A–C এর মোট বিন্যাস
\[
21 \times 120 = 2520
\]

ধাপ–২: এখন A ও B পাশাপাশি না থাকার শর্ত যোগ করতে হবে

প্রথমে A–C শর্ত মানা সব বিন্যাস = 2520

এবার A ও B পাশাপাশি থাকে — এমন বিন্যাস বাদ দিতে হবে।

A–C এর মধ্যে পাশাপাশি A–B যেখানে থাকে সেই কেস বাদ:

A–B বা B–A ব্লক ধরলেও C অবশ্যই A–এর ডানে হতে হবে।

ব্লক + C শর্ত মিলে মোট নিষিদ্ধ বিন্যাস পাওয়া যায় =
\[
720
\]

সুতরাং বৈধ মোট উপায়
\[
2520 - 720 = 1800
\]

উত্তর:

মোট 1800 উপায়

প্রশ্ন:

সরল সুদে ৮% হারে ৩ বছরে ৫০০০ টাকার সুদ কত?

সমাধান:

সরল সুদের সূত্র:

$$
SI = \frac{P \cdot R \cdot T}{100}
$$

মান বসাই:

$$
SI = \frac{5000 \cdot 8 \cdot 3}{100} = 1200
$$

উত্তর:

1200 টাকা

প্রশ্ন:

বীজগণিত মান বের করো: \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{6}\)

সমাধান:

প্রথমে সাধারণ হর বের করি: 3, 4, 6 এর LCM = 12

ভগ্নাংশগুলো 12 হরে রূপান্তর করি:

$$
\frac{2}{3} = \frac{8}{12}, \quad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \quad \frac{1}{6} = \frac{2}{12}
$$

যোগ-বিয়োগ করি:

$$
\frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}
$$

উত্তর:

5/4

প্রশ্ন:

একটি গাণিতিক ধারা (AP) এর প্রথম পদ \(a_1 = 5\) এবং সাধারণ পার্থক্য \(d = 3\)। ২০তম পদ (\(a_{20}\)) কত?

সমাধান:

AP-এর সাধারণ সূত্র:

$$
a_n = a_1 + (n-1)d
$$

২০তম পদে প্রয়োগ:

$$
a_{20} = 5 + (20 - 1) \cdot 3 = 5 + 57 = 62
$$

উত্তর:

62

প্রশ্ন:

একটি সংখ্যা যখন তার উল্টো সংখ্যার থেকে 297 বেশি — সংখ্যাটি 3 অংকের হলে সংখ্যা কী?

সমাধান:

ধরি সংখ্যাটি হলো:

\[
N = 100a + 10b + c
\]

এটির উল্টো সংখ্যা:

\[
R = 100c + 10b + a
\]

দেওয়া আছে:

\[
N = R + 297
\]

মান বসাই:

\[
100a + 10b + c = 100c + 10b + a + 297
\]

উভয় পাশে সরল করলে:

\[
99a - 99c = 297
\]

\[
a - c = 3
\]

অর্থাৎ **শতকের অংক (a)** এককের অংকের (c) থেকে **৩ বেশি**।
মধ্যের অংক \(b\) যেকোনো 0–9 হতে পারে।

তাই সংখ্যাটি হবে:

\[
100a + 10b + c = 100(a) + 10(b) + (a - 3)
\]

সম্ভব সব সংখ্যা:

\[
(a, c) = (3,0), (4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), (9,6)
\]

অর্থাৎ সম্ভাব্য ৩-অংকের সংখ্যা:

\[
300, 310, 320, \dots, 390
\]
\[
410, 420, \dots, 490
\]
\[
520 \text{ থেকে } 590
\]
\[
630 \text{ থেকে } 690
\]
\[
740 \text{ থেকে } 790
\]
\[
850 \text{ থেকে } 890
\]
\[
960 \text{ থেকে } 990
\]

উত্তর:

যে কোনো ৩–অংকের সংখ্যা যেখানে শতকের অংক এককের অংকের থেকে ৩ বেশি।

প্রশ্ন:

\(\frac{5!}{3!}\) এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে factorial মানগুলো লিখি:

\[
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
\]

\[
3! = 3 \times 2 \times 1
\]

এখন ভাগ করি:

\[
\frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1}
\]

৩!, অর্থাৎ \(3 \times 2 \times 1\) বাতিল হয়ে যায়:

\[
= 5 \times 4 = 20
\]

উত্তর:

20

প্রশ্ন:

৩ সংখ্যার অনুপাত \(2:3:5\) এবং তাদের যোগফল 200। মধ্যের সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

ধরি সংখ্যাগুলো \(2x, 3x, 5x\)।
তাদের যোগফল 200:

\[
2x + 3x + 5x = 200
\]

\[
10x = 200
\]

\[
x = 20
\]

মধ্যের সংখ্যা \(3x = 3 \times 20 = 60\)।

উত্তর:

60

প্রশ্ন:

\(\log_{10} x = 3\), তাহলে \(x\) এর মান কত?

সমাধান:

লগারিদম সূত্র অনুযায়ী:

$$
\log_{10} x = 3 \implies x = 10^3
$$

অতএব,

$$
x = 1000
$$

উত্তর:

1000

প্রশ্ন:

চারজনের গড় বয়স: A, B, C, D = ২৬।
A = 30, B = 2C, D = C + 4।
C-এর বয়স কত?

সমাধান:

মোট যোগফল:

$$
4 \times 26 = 104
$$

প্রদত্ত শর্ত বসানো:

$$
A + B + C + D = 104 \implies 30 + 2C + C + (C + 4) = 104
$$

সরল করলে:

$$
30 + 4C + 4 = 104 \implies 4C + 34 = 104 \implies 4C = 70 \implies C = 17.5
$$

উত্তর:

C = 17.5 বছর

প্রশ্ন:

১০% বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি হারে ২ বছরে ১০,০০০ টাকার পরিমাণ কত হবে?

সমাধান:

চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র:

\[
A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n
\]

এখানে,
\[
P = 10000, \quad r = 10\%, \quad n = 2 \text{ বছর}
\]

\[
A = 10000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2
\]

\[
A = 10000 \left(1 + 0.1\right)^2
\]

\[
A = 10000 \times (1.1)^2
\]

\[
A = 10000 \times 1.21
\]

\[
A = 12100
\]

উত্তর:

১২,১০০ টাকা